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复合函数性质综合应用例题

来源:www.youjishushu.com 时间:2024-05-14 20:13:52 作者:百花应用网 浏览: [手机版]

复合函数是高中数学中的个重要念,也是数学中的个重要工具百花应用网www.youjishushu.com。在实际题中,我们常常需要用到复合函数来解决题。本文将例题来介绍复合函数的性质应用

  假设有函数$f(x)=\dfrac{1}{x}$,$g(x)=\sqrt{x+1}$,求复合函数$g(f(x))$$f(g(x))$的解析式,并分别求出它们的定义域值域www.youjishushu.com

  先,我们来求$g(f(x))$。根据复合函数的定义,$g(f(x))=g(\dfrac{1}{x})=\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}$。接下来,我们来求$g(f(x))$的定义域值域Llv

定义域,由$f(x)$的定义域为$x\neq0$,所以$g(f(x))$的定义域也为$x\neq0$。

  对值域,我们可以过分析函数$g(x)$的性质来确定$g(f(x))$的值域。由$g(x)$的定义域为$x\geq-1$,且$g(x)$单调递增,所以$g(f(x))$的值域为$g(f(x))\geq g(1)=\sqrt{2}$www.youjishushu.com

  接下来,我们来求$f(g(x))$。根据复合函数的定义,$f(g(x))=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$。接下来,我们来求$f(g(x))$的定义域值域来源www.youjishushu.com

定义域,由$g(x)$的定义域为$x\geq-1$,所以$f(g(x))$的定义域为$x\geq-1$。

复合函数性质综合应用例题(1)

值域,由$f(x)$的定义域为$x\neq0$,且$f(x)$单调递减,所以$f(g(x))$的值域为$f(g(x))\leq f(-1)= -1$。

  综所述,$g(f(x))=\sqrt{\dfrac{1}{x}+1}$,定义域为$x\neq0$,值域为$g(f(x))\geq\sqrt{2}$;$f(g(x))=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$,定义域为$x\geq-1$,值域为$f(g(x))\leq-1$百花应用网www.youjishushu.com

  最后,我们过画出函数图来验证述结论。如下图所示,$g(f(x))$的图在$x-1$时单调递减,且在$x=-1$处有个水平渐近,值域为$f(g(x))\leq-1$。

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